浅谈高中数学一一函数的概念与性质

函数，无疑是高中数学的重难点。对一些高中生来说，函数是比较难学懂的。例对函数的概念不是很理解、对函数性质的常考题，时常出错。今天的我，就讲一下函数的概念与性质。

一、函数的概念

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

求值域 : 先考虑其定义域，再观察法或配方法或代换法。

二、映射的概念

设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射。

函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。

三．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<fx2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间,当x1 <x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

2．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

（4）判断函数奇偶性：

首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；其次确定f(－x)与f(x)的关系；

最后作出相应结论（若f(-x) = f(x) ，则f(x)是偶函数；若f(-x) =-f(x) ，则f(x)是奇函数．）

四．函数最大（小）值的求法

1、 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

2 、利用图象求函数的最大（小）值

3 、利用函数单调性判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

2024年 徐鸿飞