狄利克雷函数及其性质，颠覆你对函数的认知

狄利克雷简介

狄利克雷

狄利克雷（1805-1859），一生辉煌，师出名门，曾经是数学王子高斯的弟子，后就任于柏林大学，1831年被选为普鲁士科学院院士，并与1855年接替师傅高斯，成为哥延根大学的教授。狄利克雷在数论，分析学和数学物理等多领域做出过杰出贡献，当然最经典的莫过于狄利克雷函数。

狄利克雷函数

狄利克雷函数

从我们之前学习过的初等函数（幂指对函数、三角函数）等可知，函数具有一些优良的性质，比如是平滑且连续的曲线。虽然有些函数有不可求导的点，但是这些点一定是有限的。

但是，狄利克雷不这么想。他在1837年提出这样的想法：“怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，只要在某区间上的每一个确定的x值，y都有确定的值，那么y叫做x的函数”，顺便提出了上面的狄利克雷函数，这个函数不可连续，且不可求导。

狄利克雷函数的性质

函数的值域是{1,0}

函数是偶函数，满足f（-x）=f（x）

函数是周期函数，满足f（x+a）=f（x），a为有理数，但是不存在最小正周期

函数不是单调函数

图像上不存在四个点，可以构成正方形

图像上存在三个点，可以构成三角形

狄利克雷函数例题

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