康托尔集合论(现代数学与集合论的关系)

康托尔集合论的故事

1870年，康托尔开始研究“三角级数”，并由此导致19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就——“集合论”的建立。

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康尔托受“魏尔斯特拉斯”的直接影响，对“严格的分析”理论进行了深入地研究，不久便获得了一系列重大的成果。

他首次证明了“复合变量函数三角级数展开的唯一性”，继而用“有理数列极限”定义无理数。

三角级数也常称为“傅里叶级数”，康托尔在寻找“函数”展开为“三角级数”表示的“唯一性判别准则”的研究中，认识到了“无穷集合”的重要性，并开始进行深入的研究，证明它即使在“有限个间断点”处“不收敛”，定理仍然成立。

1872年，康托尔把“唯一性”的结果推广到允许“例外值”是某种“无穷的集合”情形。为了描述这种集合，他首先定义了“点集的极限点”，然后引进了“点集的导集”和“导集的导集”等重要概念。

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这是从“唯一性”问题的探索向“点集论”研究的开端，为“点集论”的诞生奠定了重要的理论基础。

为了将“有穷集合”的元素个数的概念推广到“无穷集合”，康托尔以“一一对应”为原则，提出了“集合等价”的重要概念。第一次对各种“无穷集合”按照它们元素的“多少”进行了分类。

于是，康托尔引进了“可列”这个概念，把凡是能和正整数构成“一一对应”的任何一个集合都称为“可列集合”。

1874年，康托尔证明了“有理数集合”是“可列”的，后来他还证明了所有的“代数数”的全体构成的“集合”也是可列的。

然而不久之后，康托尔得出了一个出乎意料的结论，他发现“实数集合”是不可列的。

由于实数集合“不可列”，而“代数数集合“可列”，康托尔凭着敏锐的直觉，预言了“超越数集”的存在，而且坚信“超越数”的数量将大大地多于“代数数”。

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同年，康托尔又构造了“实变函数论”中著名的“康托尔集”，给出了“测度为零”的“不可数集”的一个例子。

康托尔还巧妙地将“一条直线上的点”与“整个平面的点”一一对应起来，甚至可以将“直线”与整个“n维空间”中的点进行“一一对应”。

至此，康托尔将“无穷”的概念发挥到了极至。

“无穷概念”的提出，为数学的发展开辟了一片广阔的新天地，使“集合论”成为了“近代数学大厦”的基础。

但是其诞生之初的“不完备”性，导致了一些看似“微不足道”的问题偶尔出现，这些问题不断地日积月累。

终于，随着“罗素悖论”的提出，第三次数学危机彻底爆发了，康托尔成为了数学界各大名流的众矢之的，对他展开了猛烈的抨击，这些人当中，德国数学家“克罗内克”的言辞最为激烈，攻击时间长达10年之久。

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“数学的本质就在于它的自由。”——这是康托尔的信条。他一生孤独行走在追求真理的道路上，追求着他所向往的“无穷”与自由之美，几乎是凭着他的一己之力，完成了数学关于“无穷”概念的革命。

然而，薪水微薄的康托尔，最终耗尽自己的全部心血，也无法完全解决“集合论”出现的各种问题，他那颗追求完美的心最终无法接受这一切，终于彻底地崩溃了。

然而，真理越辨越明，“集合论”经过不断地完善，其重要性最终得到了数学界的普便肯定，成为了“近代数学”牢固的基础。

著名的数学家“希尔伯特”用坚定的语言向他的同代人宣布：“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”。

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当我们在学习“集合”概念的时候，向康托尔这位勇敢的先行者致以崇高地敬意吧！

康托尔是怎样描述集合概念的

康托尔（Cantor）是19世纪德国著名的数学家，他对集合论的发展做出了重要贡献。在描述集合概念时，康托尔强调了集合的确定性和明确性。首先，康托尔认为集合是由一些确定、明确、互异的元素所组成的总体。这些元素可以是具体的物体，也可以是抽象的概念，但它们都必须是确定的，不能模棱两可。同时，集合中的元素是互异的，即同一个元素不能在集合中出现两次。其次，康托尔强调了集合的界限性。他认为集合必须有一个明确的边界，即能够明确地判断一个元素是否属于该集合。这个边界可以是明确的条件或规则，使得我们能够准确地判断一个元素是否属于该集合。此外，康托尔还提出了无穷集合的概念。他认为集合可以是有限的，也可以是无限的，而无穷集合是指包含无限多个元素的集合。他还对无穷集合进行了分类，包括可数无穷集合和不可数无穷集合。最后，康托尔强调了集合的层次性。他认为集合可以嵌套在其他集合中，形成集合的集合，即集合的层次结构。这种层次结构使得我们能够更加深入地研究集合的性质和关系。综上所述，康托尔描述集合概念时，强调了集合的确定性、明确性、界限性、无穷性和层次性。这些特性使得集合论成为数学研究中的一个重要分支，也为其他学科的发展提供了重要的基础。

什么是集合的特征性质试举例说明

集合是由元素构成,几何元素的性质就是集合的性质。

①明确性,即那些元素是属于这个集合的,那些元素不属于这个集合是明确的；

②无序性,元素之间是没有顺序的{0,1}={1,0}；

③互异性,集合中的元素互不相同。

集合(简称集)是数学中一个基本概念，由康托尔提出。它是集合论的研究对象，集合论的基本理论直到19世纪才被创立。最简单的说法，即是在最原始的集合论--朴素集合论中的定义，集合就是"一堆东西"。集合里的"东西"，叫作元素。

集合大学创始人

陈嘉庚

没有集合大学，只有集美大学。集美大学由爱国华侨陈嘉庚先生于1918年创办于福建厦门集美。该大学是福建省重点建设高校，交通运输部与福建省、自然资源部与福建省、福建省与厦门市共建高校，福建省一流大学和一流学科建设高校，设有20个学院，76个本科专业；拥有1个博士后科研流动站，一级学科博士学位授权点4个，一级学科硕士学位授权点15个，硕士专业学位授权点18个。

康托尔－伯恩斯坦－施罗德定理证明相关

康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理（Cantor-Bernstein-Schroedertheorem）是集合论中的一个基本定理，得名于康托尔、FelixBernstein和ErnstSchr?der。

该定理陈述说：如果在集合A和B之间存在单射f:A→B和g:B→A，则存在一个双射h:A→B。从势的角度来看,这意味着如果|A|≤|B|并且|B|≤|A|，则|A|=|B|，即A与B等势。显然，这是在基数排序中非常有用的特征。