椭圆的几何性质(椭圆的结论十三个及证明)

高中数学椭圆知识点

一、椭圆知识点总结

1、椭圆的概念

在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹（或集合）叫椭圆、这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：

（1）若a＞c，则集合P为椭圆；

（2）若a＝c，则集合P为线段；

（3）若a＜c，则集合P为空集。

2、椭圆的标准方程和几何性质

一条规律

椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：

两种方法

（1）定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程。

（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程。

三种技巧

（1）椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的'距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c。

（2）求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e（0＜e＜1）。

（3）求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：

①中心是否在原点；

②对称轴是否为坐标轴。

二、复习指导

1、熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程。

2、掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等、体会解析几何的本质问题——用代数的方法解决几何问题。

椭圆性质及其推导

椭圆是一个平面上的一个点F到两个定点A和B的距离之和等于常数2a的所有点P的轨迹，且F在AB中点O上方。其数学表达式为：$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$，其中$(x_0,y_0)$是椭圆的中心，$a$和$b$分别是椭圆在$x$轴和$y$轴上的半轴长。

下面是椭圆的一些性质及其推导：

1.椭圆任意两点间线段长度之和等于常数

证明：任取一点P及其对称点P'关于中心，则由对称性可得PP'=2a。又因为PA+AP'=PB+BP'=2a，所以PA+PB=PP'/2+PB=2a，同理可证PB+PC=2a，因此PA+PB+PC=4a

2.椭圆离心率公式

通过定义式可以得到$\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$,进一步化简有$\epsilon=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$

3.椭圆焦距公式

从定义式出发可得：$PF_1+PF_2=2(a-\bar{x})$

根据中点公式，可知$\bar{x}=\frac{x1+x2}{2}$,同时有$F_1(-c,0),F_2(c,0)$，代入可得：

$PF_1=\sqrt{(x+c)^2+y^2},PF_2=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$，将两个焦距公式带回原式中，化简以后可以得到：$c=\sqrt{a^2-b^2}$。

4.椭圆的切线方程

以椭圆上某点P为起始点的切线斜率为k，则该点横纵坐标分别为$x_0,y_0$，则有：$-\frac{b^2}{a^2}\cdot\frac{y-y_0}{x-x_0}$

将其与椭圆方程联立消元即可。

5.椭圆离心率与几何性质

离心率越小，椭圆越扁平；离心率等于1时，椭圆变成了一个抛物线；大于1时，椭圆变成了双曲线。

椭圆有什么性质

椭圆是一个重要的几何图形，具有许多性质和特征，以下是其中一些主要性质：

1.定义：椭圆是一个平面上的几何图形，其定义为到两个给定点（焦点）之和距离等于常数的点的集合。

2.长轴和短轴：椭圆有两个重要的轴，称为长轴和短轴。长轴是通过两个焦点的直线，短轴是垂直于长轴的线段。长轴的长度通常表示为2a，短轴的长度通常表示为2b。

3.焦点：椭圆有两个焦点，位于长轴的两侧，用于定义椭圆的形状。焦点之间的距离通常表示为2c，满足c^2=a^2-b^2。

4.半长轴和半短轴：半长轴是从椭圆中心到椭圆上的点沿长轴的距离，通常表示为a。半短轴是从椭圆中心到椭圆上的点沿短轴的距离，通常表示为b。

5.离心率：离心率（e）是一个用来描述椭圆形状的参数，它等于焦点之间的距离（2c）与长轴长度（2a）之比，即e=c/a。离心率确定了椭圆是多圆形状（e接近0）还是拉长形状（e接近1）。

6.对称性：椭圆具有中心对称性，其中心是椭圆的中点，对任何点P在椭圆上，也有相对应的点P'在椭圆上，使得PP'通过中心。

7.周长和面积：椭圆的周长和面积可以通过数学公式计算。椭圆的周长公式是2πa，面积公式是πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。

这些是椭圆的一些主要性质，它们对于几何学和工程学等领域具有重要的应用。

椭圆的性质

椭圆是一个在平面上的几何图形，它具有许多有趣的性质。以下是一些椭圆的主要性质：

1.**定义：**椭圆是到两个焦点的距离之和等于常数的点的集合。

2.**焦点性质：**椭圆的焦点是位于椭圆长轴上的两个点，它们的距离和是椭圆的长轴长度。

3.**半长轴和半短轴：**椭圆的长轴是通过两个焦点的直线，并通过椭圆中心的点。半长轴是从中心到椭圆上最远的点的距离。短轴是垂直于长轴的线段，并通过椭圆中心的点。半短轴是从中心到椭圆上离中心最近的点的距离。

4.**焦半径定理：**从椭圆焦点出发的任意射线，经过椭圆上的一点，其长度等于该点到两个焦点的距离之和。

5.**轴的方程：**椭圆的长轴与短轴通常与坐标轴平行。椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(a\)是半长轴的长度，\(b\)是半短轴的长度。

6.**离心率：**椭圆的离心率\(e\)是一个介于0和1之间的实数，表示焦点与椭圆中心之间的距离与半长轴长度之比。

7.**参数方程：**椭圆也可以用参数方程来表示：\(x=a\cos(t)\)，\(y=b\sin(t)\)，其中\(t\)是参数。

8.**面积：**椭圆的面积为\(A=\piab\)，其中\(a\)和\(b\)是半长轴和半短轴的长度。

这些性质只是椭圆的一部分，但它们可以帮助你更好地理解椭圆的特点和性质。

椭圆的性质是

1、椭圆上的点与两个焦点的距离的和等于一个定值；

2、椭圆是对称图形；

3、椭圆是中心对称图形；

4、椭圆的离心率大于零且小于一；

5、椭圆的离心率越小越接近于圆；

6、椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度；

7、椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。