垂径定理及其推论，垂径定理及推论的概念和意义

垂径定理及其证明

垂径定理（PerpendicularBisectorTheorem）是一个几何定理，它指出：如果一个点位于线段的垂直平分线上，那么它到线段两个端点的距离相等，即它到线段两个端点的距离相等。

垂径定理的数学陈述如下：

对于线段AB的垂直平分线CD，如果点P位于CD上，则有：

PA=PB

这个定理通常用于证明一个点是否位于线段的垂直平分线上，或者用于求解与线段的垂直平分线相关的几何问题。

证明垂径定理的一个简单方法是使用数学归纳法。以下是一个基本的证明过程：

1.首先，假设线段AB的垂直平分线CD存在，并且点P位于CD上。

2.通过反证法，假设PA≠PB。也就是说，点P到线段两个端点的距离不相等。

3.在线段AB上选择一个点E，使得PE=PB。这是可行的，因为我们假设PB较长，所以可以在PB上找一个点E使得PE等于PB。

4.由于PE=PB，根据三角不等式，我们知道PA+AE>PE=PB。这表示点A到点E的距离大于点P到点E的距离，即PA>PE。

5.现在我们有PA>PE和PE=PB，所以PA>PB。但这与我们最初的假设PA≠PB相矛盾。

6.因此，假设PA≠PB是错误的，所以我们得出PA=PB。

这样，我们证明了垂直平分线上的点P到线段AB两个端点的距离相等，即垂径定理成立。这个证明方法使用了反证法，以排除PA≠PB的可能性，从而得出PA=PB的结论。

垂径定理十个推论及证明

垂直于弦的直径

①平分弦，②平分弦所对的优弧③劣弧，④平分弦所对的优弧所对的圆周角⑤平分弦所对的劣弧对的圆周角

推论一条直线

①过圆心垂直弦~必平分弦

②过圆心平分弦~必垂直弦

③垂直平分弦~必过圆心

④平分弧过圆心~必垂直弦

⑤平分弧垂直弦~必过圆心

证明方法都可以用圆是轴对称图形的结论。

垂径定理及公式

答:垂直于弦的直径平分这条弦，并平分这条弦所对的两段弧。这就是著名垂径定理。公式:弦的一半是直径两段的比例中项。圆还有著名的圆幂定理和圆周角定理。

垂径定理的推论

垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等(证明时的理论依据就是上面的五条定理)但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:在5个条件中:1.平分弦所对的一条弧2.平分弦所对的另一条弧3.平分弦4.垂直于弦5.经过圆心(或者说直径)只要具备任意两个条件,就可以推出其他的三个结论

垂径定理知识点

垂径定理：

1、垂径定理及其推论是指：一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。这五个条件只须知道两个，即可得出另三个(平分弦时，直径除外)，要求理解掌握。

2、垂径定理及其推论在圆的有关计算和证明中的应用广泛，有关弦、半径、弦心距的问题常常利用垂径定理及推论解决。