复数求根公式(复数根求根公式二元一次)

为什么有的复数不能用求根公式

复数不能用求根公式表示的原因是因为这些复数不满足求根公式的前提条件。求根公式是指对于形如$ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+...+k=0$的$n$次方程，在实数域或复数域上，存在一个通用的求根公式，可以用根式或者有限次四则运算来表示根的方法。然而，并不是所有的方程都可以求解为有限次四则运算。一个方程是否可以用有限次四则运算表示其根，取决于根式运算的可解性。根式可解性的判断需要通过一些数论和代数的方法，例如判断是否存在一个特定的根式算法。根式可解性的理论非常复杂，至今仍是数学中一个有待深入研究的问题。因此，有些复数不能用求根公式表示，是因为它们所在的方程不满足根式可解性的条件，或者说没有存在一个特定的根式算法可以得到这些复数的解。

求复数方程的根

解复数方程的求根公式为：x=(-b±√(b^2-4ac))/2a，其中a称为实部，b称为虚部，复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。

复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

一元四次方程复数求根公式

一元四次求根公式

x1+x1x2x1x2

基本介绍

对于一般一元四次方程：

ax4+bx3+cx2+dx+e=0

设方程的四根分别为：

x1=(-b+A+B+K)/(4a)

x2=(-b-A+B-K)/(4a)

x3=(-b+A-B-K)/(4a)

x4=(-b-A-B+K)/(4a)

(A,B,K三个字母足以表示任意三个复数，根据韦达定理：方程四根之和为-b/a,所以当x1，x2，x3的代数式为原方程的三根时，那么x4形式的代数式必是方程的第四个根。)

将这四个代数式代入到韦达定理中可整理得：

x1+x2+x3+x4=-b/a

x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=(1/8a2)(3b2-A2-B2-K2)=c/a。

什么形式可以用求根公式

任何存在实数根的一元二次方程都可以用求根公式求根。

前提是：存在实数根

但在复数范围内，任何一元二次方程都可以用求根公式。

复数的本质是什么

复数(Complex)作为实数的拓展历史悠久,一度曾被叫做子虚乌有的数(imaginary),直到十八世纪初经过棣莫弗及欧拉大力推动,才被数学家们渐渐接受.

确实理解复数确实需要一点时间,不过它并不复杂,而且利用它还能画出非常美丽的变换和分形图形,这次让我们用图形可视化的方式来拥抱这个概念.

复数,作为实数理论的延伸

先来看看在实数轴上两个数的加减乘除这4种运算.观察到红蓝两个点(数),在不同的计算下,其结果(绿点)的变化,不管数怎样变化,都总还落在数轴上(除法分母为0时候,当然没有意义).

再来看下图中,任何实数乘以-1的结果都会落在关于原点对称相应的位置上.所以乘以-1的计算可以理解为该点(数)绕着原点旋转了半圈.

数学家进一步思考,既然乘以-1是转动180°,那么只转动了90°(比如整数1)落在哪里?有什么意义呢?

进入新的二维复数平面

这是19世纪数学史上非常重要的一步,现在不在是在一维的实数轴上,而是进入了二维的复平面.

考虑到转动两个90°会刚好到-1.所以认为-1的平方根是相应于1的一个90度的旋转(也就是1*i*i=-1),这样在平面上与实数轴垂直的单位线段,称为是1个虚数单位i.于是有着性质:

这个没在实数轴上奇怪的点实际上落在复数平面(complexplane,或称为阿尔冈平面)上了,所有在复平面上的数都满足z=a+bi这样的结构,称之为复数.其中a称为实部(realpart),b为虚部(imaginarypart).如下图1+2i复数,1和2是实数,i是虚数单位,这样的复平面几何表示如下图所示:

现在来看直角坐标平面是二维的,需要两个数(x,y)来描述任意一点的位置,但现在用一个复数就够了,可以用实数组(a,b)代表这个复数,并且可以在复平面上绘制出来.不过请记住这里应该将每个这样的点看做一个复数,而不是一对实数.

还有三个新概念需要知晓:

复数的模(modulus,通常写为|z|):模就是它长度r:从原点到z点之间的距离

辐角(argument,通常写为arg(z)):辐角φ就是与实轴的夹角

复数的共轭(conjugate,通常写为ˉz):共轭就是a-bi的形式

观察下图可以更好理解上述三个概念:

复数的运算操作

复数有如何运算,比如可以两两相加,也就是两个复数实部和虚部分别对应相加,可以看成是平移的操作.

复数也可以有数乘运算,就是对模的放大或缩小了:

复数的乘法,就如上面所述,数乘以i相当于这个转动90°:

z1*z2两个复数相乘其实就是旋转+伸缩两种变换,也就是两个复数的模相乘(伸缩大小),辐角相加(旋转量).

如果对图片中的每一点做复数运算的变换,可以得到各种有趣的平面变换图像.这里为了纪念欧拉大神,就以他老人家头像为例,比如做乘以2i的函数变换-旋转90°,同时放大了2倍的变换;另一个变换函数为三次方,你也可以思考为什么会变成这个形状呢?:-)

最美的数学公式-欧拉公式

复平面内的点可以转成极坐标(不清楚可查看这里)的形式(r,θ),那么该点所表示的复数是什么呢？可用x=rcos(θ)和y=rsin(θ)来转化到笛卡尔坐标.所以极坐标(r,θ)表示复数

z=x+iy=rcos(θ)+irsin(θ).

特别的,如果r=1,则z=cos(θ)+isin(θ).

形如re^(iθ)的复数为极坐标形式,并且与之相对的x+iy为笛卡尔形式.1743年,瑞士数学家欧拉给出了著名的欧拉公式,对所有实数θ都成立:

特别当θ=π时，欧拉公式的特殊形式更是被评为数学上最美的公式:

这个简洁公式包括了5个数学上最重要的常数:0,1(自然数的基本单位),e(描述变化率的自然指数),π以及i(虚数的基本单位).

我们可以很快用几何的方法来证明该等式,观察下图不同的θ值对应的极坐标e^θ,请留意动画停顿之处(特别是在复平面旋转角度为180°,点落到等于-1的时刻),相信就会理解上面的欧拉等式:

参考资料:

阿德里安·班纳,《普林斯顿微积分读本》(修订版)

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