函数连续性 函数连续性与可导性的关系

函数连续性公式

因为函数f（x）连续，而且当x=0时，f（x）=a，当x不等于0是f（x）为连续的函数，所以如果要保持函数的连续性，则x趋近于0时的左右极限应该都要存在，而且需要等于x=0处的函数值。

lim（x趋近于0）（∫（0，x^3）sint/t）/（x^3）因为为0/0型，运用洛必达法则。=lim（x趋近于0）sin（x^3）/x^3，运用无穷小量代换。

函数的连续性该怎样判断

1、首先列出已知的函数f(x)，目标是证明该函数在x=0处连续。

2、计算出函数f(x)在x趋向于0时，极限等于0。

3、同时根据f(0)=0，进行进一步推导。

4、接着引用函数连续的定义。

5、最后即可判断出函数f(x)在x=0处连续。

函数连续的概念是什么

连续性是数学分析里面最基础的概念，很多人对于连续性的理解是这样的

.

这个理解没有错，但是连续性有其他5-6种等价定义。考虑连续函数,这里你不妨认为.

2.对于任意和，存在使得

3.对于任意开集,依然是开集。

4.对于任意闭集,依然是闭集。

5.对于任意集合,,

6.对于任意集合成立。

7。还可以用滤子刻画，这个对于初学者不友好，我就不提了。

这几个才是连续性的基本「结论」，

因为它是等价刻画。它们和「紧性」和「连通性」等其他性质结合才产生了后续的其他性质。最重要的是两条，

1连续函数把紧集映成紧集（所谓连续函数的有界和有最值本质是都是从这个来的）

2连续函数把连通集映成连通集（连续函数的介值性是从这个性质来的）

这两条的重要性在于，它们反过来可以刻画连续性，也就说

如果一个函数满足

：

把紧集映成紧集并且把连通集映成连通集，那么这个函数就是连续的

（这个结论在某些拓扑空间上也成立）。

在遇到一个问题后，如果里面提到连续性的时候，你利用它要多从不同的定义出发去理解，这些定义是有确实用处的。你得明白一个道理「定义本身就是最大的工具」，所谓的结论只是它们的衍生品。

下面本人的live就是关于连续函数和度量空间的live，这里这些东西会在那里详细讲解，有兴趣的同学可以查看

从度量空间看连续函数

函数的连续性是什么意思

1、函数的连续性，描述函数的一种连绵不断变化的状态，即自变量的微小变动只会引起函数值的微小变动的情况。确切说来，函数在某点连续是指：当自变量趋于该点时，函数值的极限与函数在该点所取的值一致。

2、对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。简单地说，如果一个函数的图像你可以一笔画出来，整个过程不用抬笔，那么这个函数就是连续的。

连续函数的概念与性质

连续函数是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。

例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。对于这种现象，因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。

由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。